viernes, 6 de noviembre de 2009

INVERSA DE UNA MATRIZ

MATRIZ INVERSA
Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa.
Definición. Sea A una matriz de . La matriz inversa de A es una matriz B de tal que:


Se escribe para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa.
Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero.
El método de Gauss-Jordan procede como sigue:

Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.
Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:


Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad :


El primer elemento pivote está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da:


Nuestro segundo elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de ester element, multiplicands el region 2 poor y lo summons al region 1. Est. nose ad:


Filament, harems loss 1’s en la diagonal principal. Para ell, multiplicands el region 1 poor y el region 2 poor . Est. nose ad la matrix final:


Poor lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:

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