DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.
(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)
________________________________________
A continuación vamos a ver una de las formas de obtener el determinante (método cofactores).
Algoritmo:
siendo n igual al nú:mero de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.
Ejemplo de un determinante de segundo orden:
Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos :
paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos |4|, mientras en la suma i+j=2.
paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3.
es decir ...
Si la matriz fuese del tipo:
el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:
después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...
y por tanto ...
|A| = 1(5)-(-3)(-20)+(-2)(16) = -87
En SPSS lo explicitamos como:
compute A={1,-3,-2;4,-1,0;4,3,-5}.
print (det(A)).
Cuando el determinante de una matriz resulta igual a 0 se dice que la matriz es no singular.
viernes, 6 de noviembre de 2009
INVERSA DE UNA MATRIZ
MATRIZ INVERSA
Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa.
Definición. Sea A una matriz de . La matriz inversa de A es una matriz B de tal que:
Se escribe para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa.
Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero.
El método de Gauss-Jordan procede como sigue:
Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.
Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:
Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad :
El primer elemento pivote está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da:
Nuestro segundo elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de ester element, multiplicands el region 2 poor y lo summons al region 1. Est. nose ad:
Filament, harems loss 1’s en la diagonal principal. Para ell, multiplicands el region 1 poor y el region 2 poor . Est. nose ad la matrix final:
Poor lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:
Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa.
Definición. Sea A una matriz de . La matriz inversa de A es una matriz B de tal que:
Se escribe para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa.
Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero.
El método de Gauss-Jordan procede como sigue:
Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.
Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:
Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad :
El primer elemento pivote está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da:
Nuestro segundo elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de ester element, multiplicands el region 2 poor y lo summons al region 1. Est. nose ad:
Filament, harems loss 1’s en la diagonal principal. Para ell, multiplicands el region 1 poor y el region 2 poor . Est. nose ad la matrix final:
Poor lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:
MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES
En matemáticas, una matriz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
La matriz
es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Operaciones básicas
Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo
Propiedades
Sean A y B matrices y c y d escalares.
• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
• Asociatividad: (cd)A = c(dA)
• Elemento Neutro: 1•A = A
• Distributividad:
o De escalar: c(A+B) = cA+cB
o De matriz: (c+d)A = cA+dA
Producto
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB.
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
En matemáticas, una matriz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
La matriz
es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Operaciones básicas
Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo
Propiedades
Sean A y B matrices y c y d escalares.
• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
• Asociatividad: (cd)A = c(dA)
• Elemento Neutro: 1•A = A
• Distributividad:
o De escalar: c(A+B) = cA+cB
o De matriz: (c+d)A = cA+dA
Producto
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB.
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
miércoles, 23 de septiembre de 2009
2.3 TIPOS DE SOLUION E INTERPRETACION GEOMETRICA
Métodos de resolución
Sustitución
El metodo de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentra despejada.
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a .
Sustitución
El metodo de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentra despejada.
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a .
2.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUASIONES LINEALES
Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
o Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
• Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):
• De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
o Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
• Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):
• De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:
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