DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.
(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)
________________________________________
A continuación vamos a ver una de las formas de obtener el determinante (método cofactores).
Algoritmo:
siendo n igual al nú:mero de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.
Ejemplo de un determinante de segundo orden:
Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos :
paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos |4|, mientras en la suma i+j=2.
paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3.
es decir ...
Si la matriz fuese del tipo:
el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:
después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...
y por tanto ...
|A| = 1(5)-(-3)(-20)+(-2)(16) = -87
En SPSS lo explicitamos como:
compute A={1,-3,-2;4,-1,0;4,3,-5}.
print (det(A)).
Cuando el determinante de una matriz resulta igual a 0 se dice que la matriz es no singular.
viernes, 6 de noviembre de 2009
INVERSA DE UNA MATRIZ
MATRIZ INVERSA
Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa.
Definición. Sea A una matriz de . La matriz inversa de A es una matriz B de tal que:
Se escribe para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa.
Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero.
El método de Gauss-Jordan procede como sigue:
Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.
Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:
Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad :
El primer elemento pivote está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da:
Nuestro segundo elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de ester element, multiplicands el region 2 poor y lo summons al region 1. Est. nose ad:
Filament, harems loss 1’s en la diagonal principal. Para ell, multiplicands el region 1 poor y el region 2 poor . Est. nose ad la matrix final:
Poor lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:
Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa.
Definición. Sea A una matriz de . La matriz inversa de A es una matriz B de tal que:
Se escribe para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz inversa existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa.
Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa existe si y solo si el determinante de A es distinto de cero.
El método de Gauss-Jordan procede como sigue:
Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.
Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:
Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad :
El primer elemento pivote está bien colocado y procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 2. Esto nos da:
Nuestro segundo elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de ester element, multiplicands el region 2 poor y lo summons al region 1. Est. nose ad:
Filament, harems loss 1’s en la diagonal principal. Para ell, multiplicands el region 1 poor y el region 2 poor . Est. nose ad la matrix final:
Poor lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:
MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES
En matemáticas, una matriz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
La matriz
es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Operaciones básicas
Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo
Propiedades
Sean A y B matrices y c y d escalares.
• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
• Asociatividad: (cd)A = c(dA)
• Elemento Neutro: 1•A = A
• Distributividad:
o De escalar: c(A+B) = cA+cB
o De matriz: (c+d)A = cA+dA
Producto
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB.
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
En matemáticas, una matriz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
La matriz
es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Operaciones básicas
Suma o adición
Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:
Producto por un escalar
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo
Propiedades
Sean A y B matrices y c y d escalares.
• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
• Asociatividad: (cd)A = c(dA)
• Elemento Neutro: 1•A = A
• Distributividad:
o De escalar: c(A+B) = cA+cB
o De matriz: (c+d)A = cA+dA
Producto
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz AB.
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:
para cada par i y j.
Por ejemplo:
Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.
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